前置要求
《思考的乐趣》第一模块《科学中的组合与可能性》的前置需求极低，只需要懂得100以内的加减乘除法和认识常见的几何图形如三角形和正方形即可开始；一路上需要的所有额外知识我都会予以补充。
模块介绍
《科学中的组合与可能性》模块共10节课，总时长预计约18小时，共300多个小节。你可以点击这个链接看到每个章节下属小节的标题。
第001节课：基础计数——从掰指头开始讲科学
第 001 课通过书架、楼层、桩子等熟悉的情境，引导学生从第一性原理推导三类最基本的计数结论整节课强调“先理解本质，再给出公式”，使学生真正掌握基础计数方法的来龙去脉，并为后续组合计数学习奠定严谨的思维框架。
第002节课：枚举计数——不重不漏心中有数
第 002 课围绕“枚举计数”，让学生在树状图、分类表与状态搜索中亲手推导并感受枚举计数的原则。通过层层枚举与逐步抽象，学生不只会“列列表”，更掌握了构建分类体系、验证覆盖性的系统方法，为后续组合与递归计数奠定逻辑基础。
第003节课：标数计数——好记性不如烂笔头
第 003 课围绕“标数计数”，引导学生在台阶、跳房子、路径网格等问题中，从起点标“1”，依据移动规则逐层更新节点数值，亲手推导出斐波那契数列、累加表与最短路径递推公式。通过在不同场景下扩展含义（如人数、距离）和处理对称与阻断节点，学生理解了标数法不仅统一了各类计数问题，更以递推替代了繁琐枚举，为后续动态规划与图论算法打下思维基础。
第004节课：阶乘、组合数与排列数——数学概念的诞生
第 004 课围绕“组合数与排列数”，从路径计数出发，引导学生以全新视角理解组合数的本质，将复杂路径问题转化为选择方向的问题模型。通过亲手推导组合数与排列数的公式，学生体验了数学概念从直观到抽象的诞生过程，深入理解了“是否关心顺序”这一核心区分，并掌握了阶乘记号的定义与应用，为后续复杂计数体系与公式推导打下坚实基础。
第005节课上：组合思想的应用——几何计数
第 005 课通过几何计数问题，深入培养学生的组合数学核心思维。以网格与点线图形为载体，系统锻炼了分类讨论与提炼本质的结构化思维；通过补集计数方法，初步建立逆向思考的意识；在加法原理与乘法原理的对比中，深化了对互斥与独立的本质理解。同时，课程特别强调警惕思维定式，鼓励在复杂问题中保持敏锐观察与灵活推理。学生不仅掌握了组合数在几何计数中的应用，更初步体会到组合数学以逻辑结构驾驭复杂情形的力量。
第005节课下：排列思想的应用——字母重排
第 005 课下以字母重排问题为载体，深化了排列数在复杂条件下的应用理解。通过分析重复元素对总数的影响，学生掌握了分类与去重的方法；通过处理相邻、首尾等局部限制，强化了从最强约束出发组织解题的策略；在顺序受控的问题中，体会到排列不仅是计数，更是结构安排与逻辑推演。课程最后强调方法超越，培养学生摆脱公式依赖、以本质分析问题的数学思维，为后续高阶组合数学学习打下坚实基础。
第006节课：隔板法与整数拆分
第 006 课围绕“隔板法与整数分拆”，通过排列、分配与拆分问题，让学生从多个角度体会组合数学的深层逻辑。通过插空法、反向计数法等策略，学生学会将复杂条件下的排列转化为结构清晰的问题；通过多角度理解隔板法，初步建立组合数公式背后的本质联系；通过整数拆分，引导学生感受数学归纳与分类讨论的威力，并初次接触整数分拆与哥德巴赫猜想等高级主题的想法，对数学“难题”驱魅，培养了从具体到抽象、从枚举到公式推导的整体思维框架。
第007节课：杨辉三角与数学的结构
第 007 课围绕“杨辉三角与数学的结构”，通过网格路径、标数法、组合数恒等式等多种切入角度，引导学生从实际问题中自然推导出杨辉三角的生成规律与对称性。通过旋转网格、蜂巢布局和加法递推，学生体会了组合数、乘法原理、二项式展开等数学思想的内在联系；同时，通过探索三角形数在杨辉三角中的出现，初步感受了“不同问题背后共享同一数学结构”的深层次理念。本课强调了视角转换的重要性，为学生未来理解数学建模、代数结构等更高阶主题打下了坚实的思维基础。
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