思考的乐趣第三季第005课：三角形全等专题

这节课学什么 / What You Will Learn in This Lesson

这一节我们继承上一节课总结出来的解题框架，不拘泥于任何“模型识别“，从第一性原理出发，分析三角形全等的本质，训练在没有任何提示的情况下，如何从题目中挖掘出全等三角形的蛛丝马迹。无招胜有招，真正的高手是不会被题型限制住的。

快速复习：做几何题时，心里的潜台词

先把上一节的解题框架快速拎一下：几何题的关键不是背模型，而是把已知条件扩散成代数关系，再用这些关系反过来指导我们寻找合适的几何结构。本节专门讨论其中最常见的一类结构：三角形全等。

            flowchart TB
                A[题目给了什么条件?]:::question
                B[推出一级结论
边相等 / 角相等 / 和差关系]:::algebra
                C[目标需要什么结构?]:::question
                D[把边角放进三角形]:::structure
                E[寻找或构造全等]:::geometry
                F[用对应边角回到目标]:::review

                A --> B --> C --> D --> E --> F

                classDef question fill:#dbeafe,stroke:#2563eb,stroke-width:2px,color:#1e3a8a;
                classDef algebra fill:#fef3c7,stroke:#d97706,stroke-width:2px,color:#92400e;
                classDef structure fill:#fee2e2,stroke:#dc2626,stroke-width:2px,color:#991b1b;
                classDef geometry fill:#dcfce7,stroke:#16a34a,stroke-width:2px,color:#166534;
                classDef review fill:#ede9fe,stroke:#7c3aed,stroke-width:2px,color:#4c1d95;

例题 1

如图，在四边形 \(ABCD\) 中，\(AB=AD\)，\(\angle BAD=120^\circ\)，\(\angle B+\angle D=180^\circ\)，点 \(M\)、\(N\) 分别在边 \(BC\)、\(CD\) 上，\(\angle MAN=60^\circ\)。请判断线段 \(BM\)、\(DN\)、\(MN\) 之间的数量关系，并说明理由。

例题 2

如图，在正方形 \(ABCD\) 中，点 \(E\)、\(F\) 分别是 \(BC\)、\(CD\) 上的点，且 \(\angle EAF=45^\circ\)。求 \(BE\)、\(DF\)、\(EF\) 之间的数量关系。

例题 3

如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle ABC=90^\circ\)，分别以 \(AB\)、\(AC\) 为边作等边三角形 \(ABD\) 和等边三角形 \(ACE\)，连接 \(DE\)。若 \(AB=3\)，\(AC=5\)，则 \(ED=\) ______。

例题 5

如图，在等腰直角三角形 \(ABC\) 中，\(\angle BAC=90^\circ\)，点 \(D\) 是 \(BC\) 上一点，且 \(BD=4\)，\(CD=3\)，连接 \(AD\)。以点 \(A\) 为直角顶点，\(AD\) 为直角边，在 \(AD\) 右侧作等腰直角三角形 \(ADE\)，则 \(DE\) 的长为 ______。

例题 9

如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle BAC=90^\circ\)，\(AB=AC\)，点 \(D\) 在 \(BC\) 边上，连接 \(AD\)。把线段 \(AD\) 绕点 \(A\) 逆时针旋转 \(90^\circ\) 得到线段 \(AE\)，将 \(\triangle ABD\) 沿直线 \(AD\) 翻折得到 \(\triangle AFD\)，直线 \(EF\) 与直线 \(BC\) 交于点 \(G\)。若点 \(D\) 为 \(BC\) 的三等分点，求 \(\frac{DG}{DC}\) 的值。

例题 11

如图，\(OP\) 平分 \(\angle MON\)，点 \(A\) 为 \(OM\) 上一点，点 \(B\) 为 \(ON\) 上一点，且 \(\angle APB+\angle MON=180^\circ\)，\(AC\parallel ON\) 交 \(OP\) 于点 \(C\)。当 \(\angle MON=120^\circ\) 时，求 \(PC\) 与 \(OB\) 的数量关系。