SIR 流行病传播

三类人，三个方程

SIR 模型把人群分成三组：

• S（Susceptible）易感者：还没得过病、可能被感染
• I（Infected）感染者：正在传染别人
• R（Recovered）康复者：已经免疫、不再传染也不会被感染

人在三组间单向流动：S → I → R。

$$\frac{dS}{dt} = -\beta \frac{S \cdot I}{N}, \quad \frac{dI}{dt} = \beta \frac{S \cdot I}{N} - \gamma I, \quad \frac{dR}{dt} = \gamma I$$

• $\beta$：传染率 —— 每天每个感染者平均能传给多少人
• $\gamma$：康复率 —— 每天有多少比例的感染者恢复
• $N$：总人口

R₀ —— 一个数字决定生死

把 $\beta$ 除以 $\gamma$，得到基本再生数：

$$R_0 = \frac{\beta}{\gamma}$$

意思是：一个感染者在他生病期间，平均能传给几个人。

• $R_0 < 1$：每代病人数变少，疫情自然消退
• $R_0 = 1$：稳定状态（临界点）
• $R_0 > 1$：指数爆发

参考真实数据：

• 季节性流感 R₀ ≈ 1.3
• COVID-19 原始毒株 R₀ ≈ 2.5～3
• 麻疹 R₀ ≈ 12～18（极易传播）

群体免疫阈值

当康复（免疫）人口达到 $1 - 1/R_0$ 时，剩下的易感者已经少到病毒”找不到下一个人”，疫情自然停。

• R₀ = 3 → 需要 67% 的人免疫
• R₀ = 10 → 需要 90% 的人免疫

这就是为什么 R₀ 高的传染病（麻疹）必须大规模疫苗接种才能控制。

在演示里看到的

1. 峰值的位置和高度：β 大、γ 小时峰值又高又早 → 医疗资源被挤爆
2. “压平曲线”：减小 β（戴口罩、保持距离）让峰值降低、延后，给医院喘息空间
3. R₀ < 1 时：感染曲线根本起不来，初始病例直接消失

试试把 β 拉到 0.1、γ 调到 0.2 —— R₀ = 0.5，疫情瞬间扑灭。

模型的局限

真实疫情比这复杂得多：

• 没考虑潜伏期（SEIR 模型加一个 E）
• 假设人群充分混合（实际有地理结构和社交网络）
• $\beta$ 实际会随政策、季节变化
• 没考虑变异（毒株换代会重置免疫）

但 SIR 抓住了最核心的动力学 —— 它解释了为什么所有传染病都有”爆发-峰值-消退”这个共同形状。