欧拉公式 · 复数旋转

一个让人困惑的等式

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

把虚数 i 放进指数里？怎么算？凭什么等于三角函数？

把 e^x、cos x、sin x 都展开：

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

把 x 换成 iθ 代进 e^x，注意 i² = −1：

e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \cdots

把实部和虚部分开来 —— 实部正好是 cos θ 的展开，虚部正好是 sin θ 的展开。代数上的巧合，但极其深刻。

e^(iθ) 是复平面上单位圆上的一个点，θ 是从正实轴逆时针转过的角。

复数乘法 = 模相乘、辐角相加。所以乘以 e^(iθ) 等价于”旋转 θ 角” —— 这就是为什么计算机图形学、信号处理、量子力学到处都是它。

θ = π 代入：

e^{i\pi} = -1 \implies e^{i\pi} + 1 = 0

五个最重要的常数（0、1、π、e、i）和三个最基本的运算（加、乘、幂）凝结在一个等式里。理查德·费曼称之为”数学中最神奇的公式”。