等腰直角 · 旋转构造勾股

题目

等腰 $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle ACB = 90°$，$CA = CB$。点 $D$、$E$ 在斜边 $AB$ 上，且 $\angle DCE = 45°$。

求证：$DE^2 = AD^2 + BE^2$。

上面 8 个步骤完整走了一遍证明。下面只补一句：为什么想到旋转。

顿悟时刻：为什么是旋转

目标是 $DE^2 = AD^2 + BE^2$。右边是两个平方之和，左边是一个平方 —— 这是勾股定理的形状。

勾股定理需要一个直角三角形，以 $AD$、$BE$ 为两直角边，以 $DE$ 为斜边。但 $AD$、$BE$、$DE$ 三段在图上完全分散：$AD$ 在斜边左上、$BE$ 在斜边右下、$DE$ 横跨中间。

问题转化：能不能把 $AD$ 搬到一个和 $BE$ 共顶点的位置，让它们之间刚好是直角？

注意到 $CA = CB$（等腰）且 $\angle ACB = 90°$。绕 $C$ 旋转 $90°$ 天然把 $CA$ 转到 $CB$，也就是 $A \to B$。这意味着旋转 $\triangle ACD$，$D$ 会落在 $B$ 附近的某个点 $D'$，且 $BD' = AD$（对应边）。

现在 $BD'$ 和 $BE$ 共顶点 $B$。如果 $\angle D'BE = 90°$，就有 $D'E^2 = BD'^2 + BE^2 = AD^2 + BE^2$。

而 $DE = D'E$ 来自 $\triangle DCE \cong \triangle D'CE$（SAS）—— 这个全等正是由 $\angle D'CE = \angle DCE = 45°$ 触发的，而这个等角恰好来自把 $\angle ACD$ 用旋转搬到 $\angle BCD'$ 后，和 $\angle ECB$ 加在一起刚好也是 $45°$。

一句话：目标是勾股形式 → 造直角三角形 → 旋转搬运 $AD$ → 等腰直角的 $90°$ 条件刚好提供旋转轴。所有条件一次性被用完。

一类旋转辅助线的识别

这道题的思路可以抽象成一个范式：

• 目标式是 $a^2 = b^2 + c^2$ 或 $a^2 + b^2 = c^2$ → 想造直角三角形
• 图上有等腰直角三角形或正方形 → 绕直角顶点旋转 $90°$ 是标准操作，因为旋转天然把两条等长边互换
• 旋转后线段端点重合 → 等腰条件保证 $A \to B$，让搬运后的线段和原线段共享端点