洛伦兹吸引子 · 堂前燕

动力学方程

洛伦兹吸引子由气象学家爱德华·洛伦兹在研究大气对流时推导得出。三个微分方程：

\frac{dx}{dt} = \sigma (y - x), \quad \frac{dy}{dt} = x(\rho - z) - y, \quad \frac{dz}{dt} = xy - \beta z.

形式极其简洁，行为却异常复杂。

经典的”蝴蝶”形态出现在 $\sigma = 10$ 、 $\rho = 28$ 、 $\beta = 8/3$ 。

把 $\rho$ 调到 10 以下，轨道会收敛成稳定螺旋；增大 $\rho$ ，系统会经历分岔进入混沌。建议你亲自拖动右侧滑块感受一下。

观察粒子尾迹：它们在两个”翅膀”之间反复盘旋，却从不重复完全相同的路径。这种对初始条件极度敏感的性质，就是”蝴蝶效应”的数学本体。