蒙特卡洛求 π

几何观察

边长为 2 的正方形内切一个半径为 1 的圆：

• 正方形面积 = $2 \times 2 = 4$
• 圆面积 = $\pi \times 1^2 = \pi$
• 比值 = $\pi / 4$

如果在正方形内完全随机地撒点，每个点落入圆内的概率正是 $\pi/4$。

估算公式

点越多，估算越准。这是大数定律最直观的演示。

试着看

• 一开始波动很大（前 100 点）
• 几千点后稳定到 3.14 左右
• “爆撒一万点” 一秒钟做到 ~3.14 的精度
• 但要再精确一位（3.141 → 3.1415），需要的点数大约要再多 100 倍

蒙特卡洛方法

这种”随机撒一堆样本来近似一个确定结果”的思想叫蒙特卡洛方法，名字来自摩纳哥的赌场（曼哈顿计划期间，物理学家用赌博术语隐喻随机模拟）。

应用：

• 金融衍生品定价
• 粒子物理碰撞模拟
• 渲染中的光线追踪
• 围棋 AlphaGo 早期版本（MCTS：蒙特卡洛树搜索）