旋转位似 · 一个变换同时拧转与缩放

它是什么

旋转位似（又称旋转相似）是平面上最朴素却最有用的相似变换之一：固定一个中心 $A$ ，把每个点 $P$ 先绕 $A$ 旋转一个角 $\theta$ ，再以 $A$ 为中心放缩 $k$ 倍，得到像 $Q$ 。

$\overrightarrow{AQ} = k\,R_\theta\,\overrightarrow{AP},\qquad k>0.$

拖动下图中的红点 $P$ ，蓝点 $Q$ 就是它的像。调节 $\theta$ 与 $k$ ，再点「描一个图形」，看 $Q$ 描出的轨迹——它永远是 $P$ 轨迹的一个旋转 + 缩放的副本。

无论 $P$ 拖到哪里，关于中心 $A$ 都有两件事恒定不变：

$\frac{AQ}{AP} = k \quad(\text{比值恒定}),\qquad \angle PAQ = \theta \quad(\text{张角恒定}).$

这正是演示右侧「实测 AQ∶AP」「实测 ∠PAQ」始终锁死的原因。反过来，只要一族点对 $(P,Q)$ 满足这两条，它们就来自同一个旋转位似——中心、角度、比例被唯一确定。

一句话：旋转位似把”相似”从”三角形对三角形”提升为”整张平面对整张平面”的统一动作。

复数的几何化身。 把平面看成复平面、中心设为原点，旋转位似就是一次复数乘法： $Q = (k e^{i\theta})\,P$ 。乘一个复数 $=$ 转一个角 $+$ 缩一个倍。这把”乘法”变成了看得见的动作。
相似三角形的母体。 $\triangle APQ$ 中 $AQ/AP=k$ 、 $\angle PAQ=\theta$ 恒定，于是 $P$ 扫出任意图形时， $A,P,Q$ 三点构成的三角形全程保持相似。中学里”手拉手模型""一线三等角”本质上都是它的特例。
旋转位似引理。 任给两条线段 $PQ$ 与 $P'Q'$ ，存在唯一的旋转位似把前者映到后者；其中心恰是两条直线 $PP'$ 、 $QQ'$ 与两个外接圆的交汇点。这条引理是奥数几何里证明四点共圆、判定相似的利器。
从机械连杆到几何模型。 缩放仪这类连杆机构，输出端正是输入端在某个旋转位似下的像——画图放大、雕刻复制都靠它。课堂上的几何模型，与机械臂的运动，是同一个变换的两副面孔。

题目里出现这些信号时，优先考虑”找一个旋转位似中心”：

找到中心 $A$ 、读出 $(\theta, k)$ ，零散的条件就会坍缩成一个干净的变换——这就是旋转位似的威力。