堂前燕
数学 · 初中 /高中 · 平面几何 · 正方形 · 半角 · 旋转全等 · 四点共圆 · 等腰直角三角形 · 相似三角形 · 勾股定理

正方形半角模型 · 一题抵十题

正方形中 ∠HBP = 45°（"半角"）经旋转全等、四点共圆与相似三角形的连锁推导，衍生出 HP = AH + PC、等腰直角 △BMH、△BNP 等八个精妙结论。

题目

正方形 ABCDABCD 中，HH 在 ADAD 上，PP 在 CDCD 上，且 ∠HBP=45°\angle HBP = 45°。连对角线 ACAC，设

N=BH∩AC,M=BP∩AC.N = BH \cap AC,\quad M = BP \cap AC.

步骤 0 / 8

蓝 = BH、BP 绿 = ∠HBP = 45° 金 = △BMH（等腰直角） 紫 = △BNP（等腰直角） 朱砂 = HP = AH + PC

上面 8 个步骤走完了八个结论的推导。下面先把结论汇总，再解释”半角为什么神奇”。

八个结论

#结论关键工具
①∠ABH+∠CBP=45°\angle ABH + \angle CBP = 45°∠ABC=90°\angle ABC = 90° 直接得
②HP=AH+PCHP = AH + PC将 △ABH\triangle ABH 绕 BB 旋转 90°90°（旋转全等）
③△BMH\triangle BMH 是等腰直角三角形，BM=MHBM = MHA,B,M,HA, B, M, H 四点共圆
④△BNP\triangle BNP 是等腰直角三角形，BN=NPBN = NPB,N,P,CB, N, P, C 四点共圆
⑤MD=MHMD = MHACAC 是 BDBD 的垂直平分线，故 MB=MDMB = MD
⑥HP=2 MNHP = \sqrt{2}\,MN△BHP∼△BMN\triangle BHP \sim \triangle BMN（相似比 2\sqrt{2}）
⑦S△BHP=2 S△BMNS_{\triangle BHP} = 2\,S_{\triangle BMN}相似比的平方 =2= 2
⑧MN2=MC2+AN2MN^2 = MC^2 + AN^2将 △CBM\triangle CBM 绕 BB 旋转 90°90° + 勾股定理

结论依赖关系

flowchart TD P(["∠HBP = 45°"]) P --> C1["① ∠ABH + ∠CBP = 45°"] P -->|旋转 △ABH 90°| C2["② HP = AH + PC"] P -->|四点共圆 ABMH| C3["③ 等腰直角 △BMH BM = MH，BM ⊥ MH"] P -->|四点共圆 BNPC| C4["④ 等腰直角 △BNP BN = NP，BN ⊥ NP"] C3 -->|AC 垂直平分 BD| C5["⑤ MD = MH"] C3 & C4 -->|△BHP ∼ △BMN，比 √2| C6["⑥ HP = √2·MN"] C3 & C4 -->|面积比 = 相似比²| C7["⑦ S△BHP = 2·S△BMN"] C3 & C4 -->|旋转 △CBM 90°| C8["⑧ MN² = MC² + AN²"]

破题：对角线上的 45°

“半角”之所以神奇，是因为 45°=90°/245° = 90°/2：正方形的顶角是 90°90°，而 ∠HBP\angle HBP 恰好取了它的一半。

这使得对角线 ACAC（与各边成 45°45°）和半角射线 BHBH、BPBP（夹角也是 45°45°）产生严格的角度共鸣，触发两组四点共圆：

∠MAH=∠MBH=45°  ⟹  A,B,M,H 共圆\angle MAH = \angle MBH = 45° \implies A,B,M,H \text{ 共圆}

∠NCP=∠NBP=45°  ⟹  B,N,P,C 共圆\angle NCP = \angle NBP = 45° \implies B,N,P,C \text{ 共圆}

两个等腰直角三角形 △BMH\triangle BMH 和 △BNP\triangle BNP，是所有后续结论（⑤⑥⑦⑧）的唯一来源。

一类辅助线的通用识别

当题目出现以下特征时，立刻考虑连正方形对角线并寻找四点共圆：

  • 正方形某顶点 向两条非对角线方向引线，夹角恰好是 45°45°
  • 目标含线段比或面积比，且比值是 2\sqrt{2} 或 22

这是进入所有后续推论的唯一入口——两组等腰直角三角形一旦建立，剩下的推导都是水到渠成。