三角形倍角 · AB = AC + CD 的角平分线秘密

题目

如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 上的一点，$AD$ 平分 $\angle BAC$（即 $\angle 1 = \angle 2$）。已知 $\angle C = 2\angle B$。求证：$AB = AC + CD$。

上面 5 个步骤完整走了一遍证明。下面补充：为什么想到这个辅助点 E，以及这道题的等价条件。

顿悟时刻：辅助线为什么是它

要证 $AB = AC + CD$，需要把 $AB$ 拆成两段之和。最自然的想法：在 $AB$ 上找一个点 $E$，使 $AE = AC$，那么只需再证 $BE = CD$ 即可。

那么 $BE = CD$ 从哪里来？已知 $AD$ 平分 $\angle A$（$\angle 1 = \angle 2$），加上 $AE = AC$ 和公共边 $AD$，这恰好凑齐了一组 SAS：

$$\triangle ADE \cong \triangle ADC \quad \text{（SAS：} AE=AC,\ \angle DAE = \angle DAC,\ AD=AD\text{）}$$

于是得到 $DE = DC$。目标变为证 $BE = DE$，即 $\triangle BDE$ 等腰、$\angle BDE = \angle B$。

这就是 $\angle C = 2\angle B$ 的作用：

$$\angle BDE = 180° - \angle B - \angle BED = 180° - \angle B - (180° - \angle AED)$$ $$= \angle AED - \angle B = \angle C - \angle B = 2\angle B - \angle B = \angle B$$

所以条件 $\angle C = 2\angle B$ 精确地保证了 $\triangle BDE$ 等腰，环环相扣，无一多余。

等价条件

反向也成立。设 $AD$ 平分 $\angle A$，$D$ 在 $BC$ 上，且 $AB = AC + CD$，则可用相同的辅助线 $E$（$AE = AC$）倒推：

$$BE = CD = DE \Rightarrow \triangle BDE \text{ 等腰} \Rightarrow \angle BDE = \angle B \Rightarrow \angle C = \angle BDE + \angle B = 2\angle B$$

因此：

$$\boxed{AB = AC + CD \iff \angle C = 2\angle B}$$

（在 $AD$ 平分 $\angle BAC$、$D$ 在 $BC$ 上的前提下，两个条件完全等价。）

一类辅助线的通用思路

这道题和”截长补短”思路一脉相承，识别特征：

• 要证线段之和（$AB = AC + CD$）→ 在较长线段上截取等于较短线段的一段，转化为证剩余两段相等
• 有角平分线（$\angle 1 = \angle 2$）→ 构造以被分角的两射线为对称轴的 SAS 全等对
• 倍角条件（$\angle C = 2\angle B$）→ 是等腰三角形存在的隐含保证，决定了辅助点唯一

类似结构也出现在：$AB = 2 \cdot BC \cdot \cos\angle B$（三角形中线与角的关系）、角平分线长公式等问题中，值得作为一种”模板”牢记。