卡门涡街 · 圆柱绕流与雷诺数

雷诺数 —— 流体力学最重要的数字

把”流体绕过一个物体”的所有物理压缩到一个数：

\text{Re} = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu}

Re 的物理意义 = “惯性力 / 粘性力”。Re 大 → 惯性主导（湍流）；Re 小 → 粘性主导（爬流）。

这个无量纲数惊人地决定了所有”流体绕物”的定性行为，与物体大小、流速、流体种类无关 —— 只要 Re 相同，水流过 1 米球和空气流过 1 厘米球的流场几何上一样。这就是为什么风洞实验能用缩比模型预测真飞机的性能。

粘性完全主导。流体像”黏液”绕过圆柱，前后完全对称（甚至时间可逆，这就是 G. I. Taylor 在 1960 年代演示的”反向流”实验）。

后方出现一对固定的反向旋涡（“驻涡”），但它们不会脱落。整体仍然时间稳定。这是 1933 年 Föppl 给出的解析解。

关键转捩点。圆柱后方的两个驻涡变得不稳定，开始交替脱落 —— 顶上转一圈下来、底上转一圈上去 —— 在尾迹里排成两列错位的旋涡链。

这就是 1911 年 Theodore von Kármán（冯·卡门）首次精确分析的”涡街”。他证明：只有一种特定的几何排列（间距比 h/a ≈ 0.281）才能在线性意义下稳定 —— 所有其它构型都自发漂回这个比例。

脱涡频率 f 由 Strouhal 数描述：

\text{St} = \frac{f D}{U} \approx 0.21 \text{ for Re} \in [200, 10^5]

也就是说，给定直径和流速，脱涡频率几乎完全可预测。

涡街开始失稳，进入”模式 A / B 不稳定”，最终在 Re ~ 300 时整个尾迹变成真正的三维湍流。我们这个 2D 模拟到这里就不再忠实于真实物理（真实流场必须有三维涡），但视觉上仍能看到非常剧烈的混合。

卡门涡街是物理学里最干净的自发对称性破缺例子之一：

对称的方程产生了反对称的解 —— 这种现象的数学叫”霍普夫分岔”（Hopf bifurcation），是非线性动力学的核心概念。同样的机制出现在：

涡街是它们的水力学版本。

默认显示模式是涡量场：

\omega = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}

这样涡街那条”红绿交替的链子”特别清楚。

切到”速度”模式 → 朱砂热图显示流速大小，看圆柱前方滞止点（速度 ≈ 0）和两侧加速（伯努利效应）。这和我们站点的翼型与伯努利 demo 是同一套势流加速直觉。

底层用 D2Q9 晶格玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann），把 Navier-Stokes 等价成离散粒子分布函数在 9 方向晶格上的”碰撞 + 平移”。这是 1990 年代发展起来的流体仿真方法，特别适合复杂边界 + GPU 并行。

每步约 7 百万次浮点运算，纯 JS 在中端笔记本上能跑 30-60 fps。视觉上的”颗粒感”是因为我们用了 240×90 的格子 —— 真实 Navier-Stokes 是连续的，但这个尺寸足以展现物理。

边界条件：

τ（弛豫时间）由 Re 自动算出。τ 太接近 0.5 时 LBM 会数值不稳定，所以高 Re 时模拟精度会下降。

涡街频率在很宽的 Re 范围内 几乎只取决于 D 和 U，与流体粘度无关（St ≈ 0.21 是常数）。这意味着：

这种”频率几乎固定 + 振幅按 Re 变化”的特性，让卡门涡街成为工程上最容易预测但又最难根治的振动源之一。