离散不动点 · 缩小的网格盖回自己

离散版先建直觉

连续的不动点定理说，缩小的照片盖回原图，必有一点压在自己身上。换成格子，这件事更容易看清。

• 甲：10 行（字母 A–J，自上而下）× 10 列（数字 1–10，自左而右），左上角是 A-1。
• 乙：把整张甲缩小一半（边长减半），仍带着自己的 A-1 到 J-10 标签。
• 把乙盖在甲上，不转、不出界、格线对齐。

那么总有一格，它在甲里的字母和数字，跟它在乙里的完全一样。用方向键移动乙，朱砂格就是它。

为什么一定有

字母只看上下，数字只看左右，互不相干。所以分开证：先说字母总有一个对上，再说数字总有一个对上，两者交出的格子就是所求。

看字母。从乙最上面一行往下数，每到一行，记下它正下方对应的是甲的第几个字母。乙在甲里面，所以乙第一行（A）下方，甲的字母不会比 A 更靠前；乙最后一行（J）下方，甲的字母不会超过 J。也就是说，“甲的字母减乙的字母”这个差，开头不为负，结尾不为正。

乙是半格大小，往下挪一行时走得慢：甲的字母最多前进一个，乙的字母正好前进一个，所以这个差每次至多变 1。一个整数从不为负走到不为正、每步至多变 1，途中必然取到 0。取到 0 的那一行，甲、乙的字母相同。

数字方向把同样的话再走一遍，又得到一个对上的数字。它和那个字母交叉的格子，在甲、乙里念出来便完全相同。

把格子越分越细、半格的颗粒趋于零，这个结论就连续地长成了连续版里那个唯一的不动点。想看连续的样子，回到照片版 · 不动点定理。