不动点定理 · 一张照片盖在自己身上

一个反直觉的事实

拿一张照片，复印一张缩小版，随便旋转、平移后盖回原照片上。无论你怎么放， 总有且只有一个点，它在副本里显示的画面，恰好就是它在原图同一位置的画面——副本上的这一点，“指着”原图上的它自己。

下图就是这件事：背景是原图，蓝框是半透明副本。拖动副本、调节旋转与缩放，朱砂十字标出的就是那个不动点。

觉得”连续”太滑？先玩离散版 · 网格盖回自己：把照片换成格子，同样的事会变得很硬。

为什么一定存在，而且唯一

把平面看成复平面。“旋转 $\theta$ + 缩放 $s$ + 平移 $b$“合起来是一个相似变换：

$T(z) = s\,e^{i\theta}\,z + b.$

不动点就是满足 $T(z^*) = z^*$ 的点。直接解这个方程：

$z^* = s\,e^{i\theta} z^* + b \;\Longrightarrow\; z^*\,(1 - s\,e^{i\theta}) = b \;\Longrightarrow\; z^* = \frac{b}{\,1 - s\,e^{i\theta}\,}.$

只要 $s\,e^{i\theta} \neq 1$（即不是”原样不动的纯平移”），分母非零，$z^*$ 就被唯一确定——这正是演示里十字始终只有一个的原因。

收缩映射：不动点是”归宿”

当 $s < 1$ 时，$T$ 是一个收缩映射：任取一点，反复套用 $T$，

$z_0 \to T(z_0) \to T(T(z_0)) \to \cdots$

每一步都把点之间的距离缩小为原来的 $s$ 倍，于是点列像被吸进漩涡一样，无可逃避地收敛到 $z^*$。勾选”显示迭代螺旋”就能看到这条收敛轨迹——起点无所谓，终点永远是同一个不动点。

这就是 巴拿赫不动点定理（压缩映射原理） 的内容：完备空间上的任何收缩映射，都有唯一的不动点，且任意初值的迭代都会收敛到它。

一句话：缩小 + 任意摆放 = 必有一个”自我指认”的点。 缩放比决定它是被吸入（$s<1$）还是被弹开（$s>1$）。

它不只是个魔术

• 存在性证明的万能钥匙。 微分方程解的存在唯一性（皮卡迭代）、隐函数定理、马尔可夫链的平稳分布、PageRank 的收敛——背后都是”构造一个收缩映射，让不动点就是要找的解”。
• 数值计算的引擎。 牛顿迭代、定点迭代解方程，本质都是反复套用一个映射逼近其不动点。
• 退化的边界。 当 $s = 1$ 且 $\theta = 0$ 时变换是纯平移，没有不动点（分母为零）——演示里把副本调成”不转、原大、只挪动”，十字就会消失。这恰好说明：定理的”收缩”条件不是摆设。