科赫雪花 · 无限长的边界围出有限的面积

一条边怎么长出雪花

规则只有一条：把线段三等分，中间那段换成一个凸出去的等边三角形的两条边（底边去掉）。

一条线段就这样变成四条，每条长度是原来的 $1/3$。对新图形的每条边重复同样的动作，画到第四、第五层，边界就毛茸茸地长成了雪花。

周长发散：每一步都乘 4/3

第 $n$ 层有 $3 \cdot 4^n$ 条边，每条长 $(1/3)^n$。所以周长

$P_n = 3 \cdot 4^n \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^n = 3\left(\tfrac{4}{3}\right)^n \xrightarrow[n\to\infty]{} \infty.$

公比 $4/3 > 1$，周长是发散的等比数列——科赫雪花的边界无限长。拖动滑块到 n = 6，线段数已经是 12288 条。

面积收敛：越加越少

第 $n$ 步新增 $3 \cdot 4^{n-1}$ 个小三角形，每个面积是上一轮小三角形的 $1/9$。以初始三角形面积为 1：

$A_n = 1 + \frac{3}{9}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{4}{9}\right)^{k} \xrightarrow[n\to\infty]{} 1 + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac49} = \frac{8}{5}.$

公比 $4/9 < 1$，这个等比级数收敛。面积只长到初始三角形的 1.6 倍就停住了。

无限长的边界，围出有限的面积——这并不矛盾：边界在不断地”皱”，皱的是长度，不是它占的地方。整个雪花自始至终装在同一个圆里。

它的维数不是 1，也不是 2

把图形放大 3 倍，会看到 4 个和原来一样的副本。若维数是 $D$，应有 $3^D = 4$：

$D = \frac{\log 4}{\log 3} \approx 1.262.$

比曲线（1 维）多，比平面（2 维）少——这就是分形维数的来历，也是”分形”这个词的字面意思：介于整数维之间的图形。

一类问题的通用识别

看到下面这些特征，多半可以用”等比数列 + 自相似”一次算清楚：

• 每一步对所有部件做同样的替换（一变四、一变三……）
• 问总长、总面积、总个数在 $n \to \infty$ 时的极限
• 判断敛散只看公比：长度公比 $4/3 > 1$ 发散，面积公比 $4/9 < 1$ 收敛

同一个图形的两个量可以一个发散一个收敛——分别算各自的公比，别想当然。

顺手对照一下谢尔宾斯基三角：那边是”挖掉中间”，面积一路缩到 0；这边是”补上中间”，面积反而收敛到 8/5。同一套等比数列的算法，两个相反的方向。