谢尔宾斯基三角 · 三条不同的路，走到同一个图形

挖洞：一变三

取一个等边三角形，连三边中点，它被分成四个小三角形。把中间那个挖掉，对剩下的三个重复同样的动作。

第 $n$ 层剩下 $3^n$ 个小三角形，每个面积是上一层的 $1/4$。所以剩余面积

$A_n = 3^n \cdot \left(\tfrac{1}{4}\right)^n = \left(\tfrac{3}{4}\right)^n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 .$

面积趋于 0，但没有任何一个点被”挖光”：三角形的三个顶点、每一层的中点，永远留在图里，而且留下的点有不可数无穷多个。一个面积为零、却密密麻麻处处是点的集合。

混沌游戏：随机也能画出确定的图

换个做法，完全不提”挖洞”：

1. 记下三角形的三个顶点 $A, B, C$；
2. 随便选一个起点；
3. 随机挑一个顶点，走到当前点与它的中点，把落点画上；
4. 重复第 3 步几万次。

每一步都靠掷骰子，可落点拼出来的偏偏是同一个谢尔宾斯基三角。切到「混沌游戏」看着它一点点浮现；把速度滑到最慢，就能一步一步看清楚：空心圈是三个顶点，实心的那个是这次抽中的，虚线指向它，红点走到一半，走过的路留下一道渐淡的残影。

为什么？因为”取中点”这个动作把整个平面缩小到一半，再平移到某个顶点附近。三个顶点对应三个这样的映射 $f_A, f_B, f_C$。谢尔宾斯基三角 $S$ 恰好满足

$S = f_A(S) \cup f_B(S) \cup f_C(S),$

它是这三个映射唯一的”不动集”。不管从哪儿出发、按什么顺序掷骰子，点都会被越吸越近——这类系统叫迭代函数系统，$S$ 是它的吸引子。

杨辉三角：把奇数涂黑

第三条路和几何毫无关系。写出杨辉三角，把组合数 $\binom{n}{k}$ 是奇数的位置涂黑、偶数留白，行数越多，图案越像那个三角形。

判断奇偶不必真去算阶乘。库默尔定理给了一个二进制判据：

$\binom{n}{k} \text{ 是奇数} \iff k \text{ 的二进制中每个 1，} n \text{ 在同一位上也是 1}.$

写成一行代码就是 (k & ~n) === 0——这也正是这个演示里用的判断。

于是第 $n$ 行的奇数个数是 $2^{s(n)}$，其中 $s(n)$ 是 $n$ 的二进制里 1 的个数。前 $2^m$ 行的奇数总数是 $3^m$——又出现了 3 的幂，和挖洞那条路对上了。

维数：1 和 2 之间

把图形放大 2 倍，看到 3 个和原来一样的副本。设维数为 $D$，则 $2^D = 3$：

$D = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585 .$

比线（1 维）多，比面（2 维）少。也难怪：它的面积是 0（所以不到 2 维），但又稠密得不像一条曲线（所以超过 1 维）。

一类问题的通用识别

• 看到”放大 $a$ 倍出现 $b$ 个副本”，就可以写 $a^D = b$，维数 $D = \log b / \log a$。
• 看到”每一步个数 ×3、尺寸 ×1/2”，总量就是等比数列，敛散只看公比。
• 看到随机过程画出确定图形，找那几个”缩小 + 平移”的映射，图形就是它们的不动集。

顺手对照一下科赫雪花：那边周长发散、面积收敛；这边面积收敛到 0、点却处处都在。两者的算法都是”等比数列 + 自相似”这一招。